Математическая статистика

 

Решение задач по математической статистике

Задача 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

 

Решение. Общее число возможных элементарных исходов одного испытания равно m = 6 × 6 = 36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующие события:

6 и 2      Σ = 8

6 и 4      Σ = 10

6 и 6      Σ = 12

2 и 6      Σ = 8

4 и 6      Σ = 10

Число всех возможных исходов составляет n = 5

Искомая вероятность по классическому определению вероятности составляет Р = n / m = 5 / 36

Ответ: Искомая вероятность составляет Р = 5 / 36

 

Задача 4. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А).

«Решение». Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно 2.

Следовательно, вероятность Р(А) = 1 / 2

Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение: Общее число равновозможных исходов равно 6 × 6 = 36 (каждое число очков, выпавших на одной кости может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода: (1; 2) и (2; 1). Следовательно, искомая вероятность Р(А) = 2 / 36 = 1 / 18.

Ответ: Р(А) = 1/18

 

Задача 61. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха.

Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах не будет ни одного промаха». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула

Р (A) = рn.

По условию:

Р(А) ≤ 0,4 – необходимая вероятность стрельбы без единого промаха

р = 0,8 – вероятность попадания в мишень при одном выстреле

Следовательно, получаем 0,8n ≤ 0,4

Логарифмируем:

n ln 0,8 ≤ ln 0,4

Учитывая, что ln 0,8 < 0 получаем n ≥ ln 0,4 / ln 0,8 = 4,1

Следовательно, стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Ответ: стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

 

Задача 181. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Решение. Число отказов распределено по закону Пуассона, причем требуется найти параметр λ (среднее число отказов).

1 – е^{– λ} = 0,98

е^{– λ} = 1 – 0,98 = 0,02

λ = – ln(0,02) = 3,91

Ответ: за время Т работы откажет примерно 4 элемента.

 

Задача 244. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появления события заключено в пределах от 150 до 200, если будет произведено 800 испытаний.

Решение. Математическое ожидание числа появления события:

М(Х) = n p = 800 × 0,25 = 200

Дисперсия числа появления события:

D(X) = n p q = 800 × 0,25 × 0,75 = 150

Максимальная разность между заданным число появлений событий и и математическим ожиданием:

ε = 200 – 150 = 50

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Р(|X – M(X)| < ε) ≥ 1 – D(X) / ε²

Р(|X – 150| < 50) ≥ 1 – 150 / 50² = 0,94

Ответ: искомая вероятность не превышает 0,94

 

Задача 371. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону:

для первого элемента                   f₁(t) = 0,1 e ^{– 0,1t}

для второго элемента                   f₂(t) = 0,2 e ^{– 0,2t}

для третьего элемента         f₂(t) = 0,3 e ^{– 0,3t}

Найти вероятности того, что в интервале времени (0;10) ч откажут:

а) хотя бы один элемент;

б) не менее двух элементов.

Решение

Переходим к интегральным функциям распределения:

для первого элемента                   F₁(t) = 1 – e ^{– 0,1t}

для второго элемента                   F₂(t) = 1 – e ^{– 0,2t}

для третьего элемента         F₂(t) = 1 – e ^{– 0,3t}

Вероятности безотказной работы:

для первого элемента                   q₁ = R₁(10) = e ^{– 0,1 ∙ 10} = е ^–1 = 0,368

для второго элемента                   q₂ = R₂(10) = e ^{– 0,2 ∙ 10} = е ^–2 = 0,135

для третьего элемента         q₃ = R₃(10) = e ^{– 0,3 ∙ 10} = е ^–3 = 0,050

Вероятности отказа:

для первого элемента                   р₁ = 1 – q₁ = 0,632

для второго элемента                   р₂ = 1 – q₁ = 0,865

для третьего элемента         р₃ = 1 – q₁ = 0,950

Вероятность, что безотказной работы:

q₁ × q₂ × q₃ = 0,368 × 0,135 × 0,050 = 0,002

Вероятность, что откажет ровно один элемент:

p₁ × q₂ × q₃ + q₁ × p₂ × q₃ + q₁ × q₂ × p₃ =

= 0,632 × 0,135 × 0,050 + 0,368 × 0,865 × 0,050 + 0,368 × 0,135 × 0,950 = 0,411

Вероятность, что откажет ровно два элемента:

p₁ × p₂ × q₃ + p₁ × q₂ × p₃ + q₁ × p₂ × p₃ =

= 0,632 × 0,865 × 0,050 +0,632 × 0,135 × 0,950 + 0,368 × 0,865 × 0,950 = 0,067

Вероятность, что откажет ровно три элемента:

p₁ × p₂ × p₃ = 0,632 × 0,865 × 0,950 = 0,519

Проверка   Σ = 0,002 + 0,411 + 0,067 + 0,519 = 1,000

Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент:

1 – 0,002 = 0,098

Вероятность того, что откажут не менее двух элементов:

0,067 + 0,519 = 0,587

 

Решение задач по учебнику В.М.Гмурман Теория вероятностей и математическая  статистика 

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Глава первая. Определение вероятности

 1. Классическое и статистическое определения вероятности

 2. Геометрические вероятности

Глава вторая. Основные теоремы

 1. Теорема сложения и умножения вероятностей

 2. Вероятность появления хотя бы одного события

 3. Формула полной вероятности

 4. Формула Бейеса

Глава третья. Повторение испытаний

 1. Формула Бернулли

 2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

 3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

 4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

 5. Производящая функция

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Глава четвертая. Дискретные случайные величины

 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона

 2. Простейший поток событий

 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

 4. Теоретические моменты

Глава пятая. Закон больших чисел

 1. Неравенство Чебышева

 2. Теорема Чебышева

Глава шестая. Функции плотности распределения вероятностей случайных величин

 1. Функция распределения вероятностей случайной величины

 2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

 3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

 4. Равномерное распределение

 5. Нормальное распределение

 6. Показательное распределение и его числовые характеристики

 7. Функция надежности

Глава седьмая. Распределение функции одного и двух случайных аргументов

 1. Функция одного случайного аргумента

 2. Функция двух случайных аргументов

Глава восьмая. Система двух случайных величин

 1. Закон распределения двумерной случайной величины

 2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины

 3. Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины

 4. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Глава девятая. Выборочный метод

 1. Статистическое распределение выборки

 2. Эмпирическая функция распределения

 3. Полигон и гистограмма

Глава десятая. Статистические оценки параметров распределения

 1. Точечные оценки

 2. Метод моментов

 3. Метод наибольшего правдоподобия

 4. Интервальные оценки

Глава одиннадцатая. Методы расчета сводных характеристик выборки

 1. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии

 2. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии

 3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Глава двенадцатая. Элементы теории корреляции

1. Линейная корреляция

 2. Криволинейная корреляция

 3. Ранговая корреляция

Глава тринадцатая. Статистическая проверка статистических гипотез

 1. Основные сведения

 2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

 3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

 4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)

 5. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки

 6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

 7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)

 8. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события

 9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта

 10. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

 12. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

 13. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена

 14. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла

 15. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона

 16. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

 17. Графическая проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Метод спрямленных диаграмм

 18. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности

 19. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону

 20. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

 21. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона

Глава четырнадцатая. Однофакторный дисперсвовжый анализ

 1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях

 2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Глава пятнадцатая. Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло

 1. Разыгрывание дискретной случайной величины

 2. Разыгрывание полной группы событий

 3. Разыгрывание непрерывной случайной величины

 4. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

 5. Разыгрывание двумерной случайной величины

 6. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло

 7. Расчет систем массового обслуживания с отказами методом Монте-Карло

 8. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло

ЧАСТЬ ПЯТАЯ. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава шестнадцатая. Корреляционная теория случайных функций

 1. Основные понятия. Характеристики случайных функций

 2. Характеристики суммы случайных функций

 3. Характеристики производной от случайной функции

 4. Характеристики интеграла от случайной функции